3.613 \(\int \frac{1}{(d+e x)^{3/2} \sqrt{f+g x} \left (a+c x^2\right )} \, dx\)

Optimal. Leaf size=354 \[ -\frac{e \sqrt{f+g x}}{\sqrt{-a} \sqrt{d+e x} \left (\sqrt{c} d-\sqrt{-a} e\right ) (e f-d g)}+\frac{e \sqrt{f+g x}}{\sqrt{-a} \sqrt{d+e x} \left (\sqrt{-a} e+\sqrt{c} d\right ) (e f-d g)}+\frac{\sqrt{c} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{d+e x} \sqrt{\sqrt{c} f-\sqrt{-a} g}}{\sqrt{f+g x} \sqrt{\sqrt{c} d-\sqrt{-a} e}}\right )}{\sqrt{-a} \left (\sqrt{c} d-\sqrt{-a} e\right )^{3/2} \sqrt{\sqrt{c} f-\sqrt{-a} g}}-\frac{\sqrt{c} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{d+e x} \sqrt{\sqrt{-a} g+\sqrt{c} f}}{\sqrt{f+g x} \sqrt{\sqrt{-a} e+\sqrt{c} d}}\right )}{\sqrt{-a} \left (\sqrt{-a} e+\sqrt{c} d\right )^{3/2} \sqrt{\sqrt{-a} g+\sqrt{c} f}} \]

[Out]

-((e*Sqrt[f + g*x])/(Sqrt[-a]*(Sqrt[c]*d - Sqrt[-a]*e)*(e*f - d*g)*Sqrt[d + e*x]
)) + (e*Sqrt[f + g*x])/(Sqrt[-a]*(Sqrt[c]*d + Sqrt[-a]*e)*(e*f - d*g)*Sqrt[d + e
*x]) + (Sqrt[c]*ArcTanh[(Sqrt[Sqrt[c]*f - Sqrt[-a]*g]*Sqrt[d + e*x])/(Sqrt[Sqrt[
c]*d - Sqrt[-a]*e]*Sqrt[f + g*x])])/(Sqrt[-a]*(Sqrt[c]*d - Sqrt[-a]*e)^(3/2)*Sqr
t[Sqrt[c]*f - Sqrt[-a]*g]) - (Sqrt[c]*ArcTanh[(Sqrt[Sqrt[c]*f + Sqrt[-a]*g]*Sqrt
[d + e*x])/(Sqrt[Sqrt[c]*d + Sqrt[-a]*e]*Sqrt[f + g*x])])/(Sqrt[-a]*(Sqrt[c]*d +
Sqrt[-a]*e)^(3/2)*Sqrt[Sqrt[c]*f + Sqrt[-a]*g])

_______________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 1.59736, antiderivative size = 354, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 8, number of rules used = 4, integrand size = 28, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.143 \[ -\frac{e \sqrt{f+g x}}{\sqrt{-a} \sqrt{d+e x} \left (\sqrt{c} d-\sqrt{-a} e\right ) (e f-d g)}+\frac{e \sqrt{f+g x}}{\sqrt{-a} \sqrt{d+e x} \left (\sqrt{-a} e+\sqrt{c} d\right ) (e f-d g)}+\frac{\sqrt{c} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{d+e x} \sqrt{\sqrt{c} f-\sqrt{-a} g}}{\sqrt{f+g x} \sqrt{\sqrt{c} d-\sqrt{-a} e}}\right )}{\sqrt{-a} \left (\sqrt{c} d-\sqrt{-a} e\right )^{3/2} \sqrt{\sqrt{c} f-\sqrt{-a} g}}-\frac{\sqrt{c} \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{d+e x} \sqrt{\sqrt{-a} g+\sqrt{c} f}}{\sqrt{f+g x} \sqrt{\sqrt{-a} e+\sqrt{c} d}}\right )}{\sqrt{-a} \left (\sqrt{-a} e+\sqrt{c} d\right )^{3/2} \sqrt{\sqrt{-a} g+\sqrt{c} f}} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]  Int[1/((d + e*x)^(3/2)*Sqrt[f + g*x]*(a + c*x^2)),x]

[Out]

-((e*Sqrt[f + g*x])/(Sqrt[-a]*(Sqrt[c]*d - Sqrt[-a]*e)*(e*f - d*g)*Sqrt[d + e*x]
)) + (e*Sqrt[f + g*x])/(Sqrt[-a]*(Sqrt[c]*d + Sqrt[-a]*e)*(e*f - d*g)*Sqrt[d + e
*x]) + (Sqrt[c]*ArcTanh[(Sqrt[Sqrt[c]*f - Sqrt[-a]*g]*Sqrt[d + e*x])/(Sqrt[Sqrt[
c]*d - Sqrt[-a]*e]*Sqrt[f + g*x])])/(Sqrt[-a]*(Sqrt[c]*d - Sqrt[-a]*e)^(3/2)*Sqr
t[Sqrt[c]*f - Sqrt[-a]*g]) - (Sqrt[c]*ArcTanh[(Sqrt[Sqrt[c]*f + Sqrt[-a]*g]*Sqrt
[d + e*x])/(Sqrt[Sqrt[c]*d + Sqrt[-a]*e]*Sqrt[f + g*x])])/(Sqrt[-a]*(Sqrt[c]*d +
Sqrt[-a]*e)^(3/2)*Sqrt[Sqrt[c]*f + Sqrt[-a]*g])

_______________________________________________________________________________________

Rubi in Sympy [A]  time = 143.349, size = 304, normalized size = 0.86 \[ - \frac{\sqrt{c} \operatorname{atanh}{\left (\frac{\sqrt{d + e x} \sqrt{\sqrt{c} f + g \sqrt{- a}}}{\sqrt{f + g x} \sqrt{\sqrt{c} d + e \sqrt{- a}}} \right )}}{\sqrt{- a} \left (\sqrt{c} d + e \sqrt{- a}\right )^{\frac{3}{2}} \sqrt{\sqrt{c} f + g \sqrt{- a}}} + \frac{\sqrt{c} \operatorname{atanh}{\left (\frac{\sqrt{d + e x} \sqrt{\sqrt{c} f - g \sqrt{- a}}}{\sqrt{f + g x} \sqrt{\sqrt{c} d - e \sqrt{- a}}} \right )}}{\sqrt{- a} \left (\sqrt{c} d - e \sqrt{- a}\right )^{\frac{3}{2}} \sqrt{\sqrt{c} f - g \sqrt{- a}}} - \frac{e \sqrt{f + g x}}{\sqrt{- a} \sqrt{d + e x} \left (\sqrt{c} d + e \sqrt{- a}\right ) \left (d g - e f\right )} + \frac{e \sqrt{f + g x}}{\sqrt{- a} \sqrt{d + e x} \left (\sqrt{c} d - e \sqrt{- a}\right ) \left (d g - e f\right )} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  rubi_integrate(1/(e*x+d)**(3/2)/(c*x**2+a)/(g*x+f)**(1/2),x)

[Out]

-sqrt(c)*atanh(sqrt(d + e*x)*sqrt(sqrt(c)*f + g*sqrt(-a))/(sqrt(f + g*x)*sqrt(sq
rt(c)*d + e*sqrt(-a))))/(sqrt(-a)*(sqrt(c)*d + e*sqrt(-a))**(3/2)*sqrt(sqrt(c)*f
+ g*sqrt(-a))) + sqrt(c)*atanh(sqrt(d + e*x)*sqrt(sqrt(c)*f - g*sqrt(-a))/(sqrt
(f + g*x)*sqrt(sqrt(c)*d - e*sqrt(-a))))/(sqrt(-a)*(sqrt(c)*d - e*sqrt(-a))**(3/
2)*sqrt(sqrt(c)*f - g*sqrt(-a))) - e*sqrt(f + g*x)/(sqrt(-a)*sqrt(d + e*x)*(sqrt
(c)*d + e*sqrt(-a))*(d*g - e*f)) + e*sqrt(f + g*x)/(sqrt(-a)*sqrt(d + e*x)*(sqrt
(c)*d - e*sqrt(-a))*(d*g - e*f))

_______________________________________________________________________________________

Mathematica [C]  time = 3.41567, size = 555, normalized size = 1.57 \[ \frac{\frac{\left (\sqrt{a} \sqrt{c} e-i c d\right ) \log \left (-\frac{i \sqrt{a} \sqrt{\sqrt{c} d-i \sqrt{a} e} \left (2 \sqrt{d+e x} \sqrt{f+g x} \sqrt{\sqrt{c} d-i \sqrt{a} e} \sqrt{\sqrt{c} f-i \sqrt{a} g}-i \sqrt{a} (d g+e f+2 e g x)+\sqrt{c} (2 d f+d g x+e f x)\right )}{\sqrt{c} \left (\sqrt{c} x+i \sqrt{a}\right ) \sqrt{\sqrt{c} f-i \sqrt{a} g}}\right )}{\sqrt{a} \sqrt{\sqrt{c} d-i \sqrt{a} e} \sqrt{\sqrt{c} f-i \sqrt{a} g}}+\frac{\left (\sqrt{a} \sqrt{c} e+i c d\right ) \log \left (\frac{i \sqrt{a} \sqrt{\sqrt{c} d+i \sqrt{a} e} \left (2 \sqrt{d+e x} \sqrt{f+g x} \sqrt{\sqrt{c} d+i \sqrt{a} e} \sqrt{\sqrt{c} f+i \sqrt{a} g}+i \sqrt{a} (d g+e f+2 e g x)+\sqrt{c} (2 d f+d g x+e f x)\right )}{\sqrt{c} \left (\sqrt{c} x-i \sqrt{a}\right ) \sqrt{\sqrt{c} f+i \sqrt{a} g}}\right )}{\sqrt{a} \sqrt{\sqrt{c} d+i \sqrt{a} e} \sqrt{\sqrt{c} f+i \sqrt{a} g}}-\frac{4 e^2 \sqrt{f+g x}}{\sqrt{d+e x} (e f-d g)}}{2 \left (a e^2+c d^2\right )} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]  Integrate[1/((d + e*x)^(3/2)*Sqrt[f + g*x]*(a + c*x^2)),x]

[Out]

((-4*e^2*Sqrt[f + g*x])/((e*f - d*g)*Sqrt[d + e*x]) + (((-I)*c*d + Sqrt[a]*Sqrt[
c]*e)*Log[((-I)*Sqrt[a]*Sqrt[Sqrt[c]*d - I*Sqrt[a]*e]*(2*Sqrt[Sqrt[c]*d - I*Sqrt
[a]*e]*Sqrt[Sqrt[c]*f - I*Sqrt[a]*g]*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[f + g*x] + Sqrt[c]*(2*d*
f + e*f*x + d*g*x) - I*Sqrt[a]*(e*f + d*g + 2*e*g*x)))/(Sqrt[c]*Sqrt[Sqrt[c]*f -
I*Sqrt[a]*g]*(I*Sqrt[a] + Sqrt[c]*x))])/(Sqrt[a]*Sqrt[Sqrt[c]*d - I*Sqrt[a]*e]*
Sqrt[Sqrt[c]*f - I*Sqrt[a]*g]) + ((I*c*d + Sqrt[a]*Sqrt[c]*e)*Log[(I*Sqrt[a]*Sqr
t[Sqrt[c]*d + I*Sqrt[a]*e]*(2*Sqrt[Sqrt[c]*d + I*Sqrt[a]*e]*Sqrt[Sqrt[c]*f + I*S
qrt[a]*g]*Sqrt[d + e*x]*Sqrt[f + g*x] + Sqrt[c]*(2*d*f + e*f*x + d*g*x) + I*Sqrt
[a]*(e*f + d*g + 2*e*g*x)))/(Sqrt[c]*Sqrt[Sqrt[c]*f + I*Sqrt[a]*g]*((-I)*Sqrt[a]
+ Sqrt[c]*x))])/(Sqrt[a]*Sqrt[Sqrt[c]*d + I*Sqrt[a]*e]*Sqrt[Sqrt[c]*f + I*Sqrt[
a]*g]))/(2*(c*d^2 + a*e^2))

_______________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.11, size = 10977, normalized size = 31. \[ \text{output too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  int(1/(e*x+d)^(3/2)/(c*x^2+a)/(g*x+f)^(1/2),x)

[Out]

result too large to display

_______________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \[ \int \frac{1}{{\left (c x^{2} + a\right )}{\left (e x + d\right )}^{\frac{3}{2}} \sqrt{g x + f}}\,{d x} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate(1/((c*x^2 + a)*(e*x + d)^(3/2)*sqrt(g*x + f)),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate(1/((c*x^2 + a)*(e*x + d)^(3/2)*sqrt(g*x + f)), x)

_______________________________________________________________________________________

Fricas [A]  time = 84.3266, size = 15992, normalized size = 45.18 \[ \text{result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate(1/((c*x^2 + a)*(e*x + d)^(3/2)*sqrt(g*x + f)),x, algorithm="fricas")

[Out]

-1/4*(8*sqrt(e*x + d)*sqrt(g*x + f)*e^2 + ((c*d^3*e + a*d*e^3)*f - (c*d^4 + a*d^
2*e^2)*g + ((c*d^2*e^2 + a*e^4)*f - (c*d^3*e + a*d*e^3)*g)*x)*sqrt(-((c^3*d^3 -
3*a*c^2*d*e^2)*f - (3*a*c^2*d^2*e - a^2*c*e^3)*g + ((a*c^4*d^6 + 3*a^2*c^3*d^4*e
^2 + 3*a^3*c^2*d^2*e^4 + a^4*c*e^6)*f^2 + (a^2*c^3*d^6 + 3*a^3*c^2*d^4*e^2 + 3*a
^4*c*d^2*e^4 + a^5*e^6)*g^2)*sqrt(-((9*c^5*d^4*e^2 - 6*a*c^4*d^2*e^4 + a^2*c^3*e
^6)*f^2 + 2*(3*c^5*d^5*e - 10*a*c^4*d^3*e^3 + 3*a^2*c^3*d*e^5)*f*g + (c^5*d^6 -
6*a*c^4*d^4*e^2 + 9*a^2*c^3*d^2*e^4)*g^2)/((a*c^8*d^12 + 6*a^2*c^7*d^10*e^2 + 15
*a^3*c^6*d^8*e^4 + 20*a^4*c^5*d^6*e^6 + 15*a^5*c^4*d^4*e^8 + 6*a^6*c^3*d^2*e^10
+ a^7*c^2*e^12)*f^4 + 2*(a^2*c^7*d^12 + 6*a^3*c^6*d^10*e^2 + 15*a^4*c^5*d^8*e^4
+ 20*a^5*c^4*d^6*e^6 + 15*a^6*c^3*d^4*e^8 + 6*a^7*c^2*d^2*e^10 + a^8*c*e^12)*f^2
*g^2 + (a^3*c^6*d^12 + 6*a^4*c^5*d^10*e^2 + 15*a^5*c^4*d^8*e^4 + 20*a^6*c^3*d^6*
e^6 + 15*a^7*c^2*d^4*e^8 + 6*a^8*c*d^2*e^10 + a^9*e^12)*g^4)))/((a*c^4*d^6 + 3*a
^2*c^3*d^4*e^2 + 3*a^3*c^2*d^2*e^4 + a^4*c*e^6)*f^2 + (a^2*c^3*d^6 + 3*a^3*c^2*d
^4*e^2 + 3*a^4*c*d^2*e^4 + a^5*e^6)*g^2))*log(-((3*c^3*d^2*e^2 - a*c^2*e^4)*f^2
+ 4*(c^3*d^3*e - a*c^2*d*e^3)*f*g + (c^3*d^4 - 3*a*c^2*d^2*e^2)*g^2 + 2*((3*c^4*
d^4*e - 4*a*c^3*d^2*e^3 + a^2*c^2*e^5)*f^2 + (c^4*d^5 - 10*a*c^3*d^3*e^2 + 5*a^2
*c^2*d*e^4)*f*g - 2*(a*c^3*d^4*e - 3*a^2*c^2*d^2*e^3)*g^2 - (2*(a*c^5*d^7*e + 3*
a^2*c^4*d^5*e^3 + 3*a^3*c^3*d^3*e^5 + a^4*c^2*d*e^7)*f^3 + (a*c^5*d^8 + 2*a^2*c^
4*d^6*e^2 - 2*a^4*c^2*d^2*e^6 - a^5*c*e^8)*f^2*g + 2*(a^2*c^4*d^7*e + 3*a^3*c^3*
d^5*e^3 + 3*a^4*c^2*d^3*e^5 + a^5*c*d*e^7)*f*g^2 + (a^2*c^4*d^8 + 2*a^3*c^3*d^6*
e^2 - 2*a^5*c*d^2*e^6 - a^6*e^8)*g^3)*sqrt(-((9*c^5*d^4*e^2 - 6*a*c^4*d^2*e^4 +
a^2*c^3*e^6)*f^2 + 2*(3*c^5*d^5*e - 10*a*c^4*d^3*e^3 + 3*a^2*c^3*d*e^5)*f*g + (c
^5*d^6 - 6*a*c^4*d^4*e^2 + 9*a^2*c^3*d^2*e^4)*g^2)/((a*c^8*d^12 + 6*a^2*c^7*d^10
*e^2 + 15*a^3*c^6*d^8*e^4 + 20*a^4*c^5*d^6*e^6 + 15*a^5*c^4*d^4*e^8 + 6*a^6*c^3*
d^2*e^10 + a^7*c^2*e^12)*f^4 + 2*(a^2*c^7*d^12 + 6*a^3*c^6*d^10*e^2 + 15*a^4*c^5
*d^8*e^4 + 20*a^5*c^4*d^6*e^6 + 15*a^6*c^3*d^4*e^8 + 6*a^7*c^2*d^2*e^10 + a^8*c*
e^12)*f^2*g^2 + (a^3*c^6*d^12 + 6*a^4*c^5*d^10*e^2 + 15*a^5*c^4*d^8*e^4 + 20*a^6
*c^3*d^6*e^6 + 15*a^7*c^2*d^4*e^8 + 6*a^8*c*d^2*e^10 + a^9*e^12)*g^4)))*sqrt(e*x
+ d)*sqrt(g*x + f)*sqrt(-((c^3*d^3 - 3*a*c^2*d*e^2)*f - (3*a*c^2*d^2*e - a^2*c*
e^3)*g + ((a*c^4*d^6 + 3*a^2*c^3*d^4*e^2 + 3*a^3*c^2*d^2*e^4 + a^4*c*e^6)*f^2 +
(a^2*c^3*d^6 + 3*a^3*c^2*d^4*e^2 + 3*a^4*c*d^2*e^4 + a^5*e^6)*g^2)*sqrt(-((9*c^5
*d^4*e^2 - 6*a*c^4*d^2*e^4 + a^2*c^3*e^6)*f^2 + 2*(3*c^5*d^5*e - 10*a*c^4*d^3*e^
3 + 3*a^2*c^3*d*e^5)*f*g + (c^5*d^6 - 6*a*c^4*d^4*e^2 + 9*a^2*c^3*d^2*e^4)*g^2)/
((a*c^8*d^12 + 6*a^2*c^7*d^10*e^2 + 15*a^3*c^6*d^8*e^4 + 20*a^4*c^5*d^6*e^6 + 15
*a^5*c^4*d^4*e^8 + 6*a^6*c^3*d^2*e^10 + a^7*c^2*e^12)*f^4 + 2*(a^2*c^7*d^12 + 6*
a^3*c^6*d^10*e^2 + 15*a^4*c^5*d^8*e^4 + 20*a^5*c^4*d^6*e^6 + 15*a^6*c^3*d^4*e^8
+ 6*a^7*c^2*d^2*e^10 + a^8*c*e^12)*f^2*g^2 + (a^3*c^6*d^12 + 6*a^4*c^5*d^10*e^2
+ 15*a^5*c^4*d^8*e^4 + 20*a^6*c^3*d^6*e^6 + 15*a^7*c^2*d^4*e^8 + 6*a^8*c*d^2*e^1
0 + a^9*e^12)*g^4)))/((a*c^4*d^6 + 3*a^2*c^3*d^4*e^2 + 3*a^3*c^2*d^2*e^4 + a^4*c
*e^6)*f^2 + (a^2*c^3*d^6 + 3*a^3*c^2*d^4*e^2 + 3*a^4*c*d^2*e^4 + a^5*e^6)*g^2))
+ 2*((3*c^3*d^2*e^2 - a*c^2*e^4)*f*g + (c^3*d^3*e - 3*a*c^2*d*e^3)*g^2)*x + (2*(
c^5*d^7 + 3*a*c^4*d^5*e^2 + 3*a^2*c^3*d^3*e^4 + a^3*c^2*d*e^6)*f^3 + 2*(a*c^4*d^
7 + 3*a^2*c^3*d^5*e^2 + 3*a^3*c^2*d^3*e^4 + a^4*c*d*e^6)*f*g^2 + ((c^5*d^6*e + 3
*a*c^4*d^4*e^3 + 3*a^2*c^3*d^2*e^5 + a^3*c^2*e^7)*f^3 + (c^5*d^7 + 3*a*c^4*d^5*e
^2 + 3*a^2*c^3*d^3*e^4 + a^3*c^2*d*e^6)*f^2*g + (a*c^4*d^6*e + 3*a^2*c^3*d^4*e^3
+ 3*a^3*c^2*d^2*e^5 + a^4*c*e^7)*f*g^2 + (a*c^4*d^7 + 3*a^2*c^3*d^5*e^2 + 3*a^3
*c^2*d^3*e^4 + a^4*c*d*e^6)*g^3)*x)*sqrt(-((9*c^5*d^4*e^2 - 6*a*c^4*d^2*e^4 + a^
2*c^3*e^6)*f^2 + 2*(3*c^5*d^5*e - 10*a*c^4*d^3*e^3 + 3*a^2*c^3*d*e^5)*f*g + (c^5
*d^6 - 6*a*c^4*d^4*e^2 + 9*a^2*c^3*d^2*e^4)*g^2)/((a*c^8*d^12 + 6*a^2*c^7*d^10*e
^2 + 15*a^3*c^6*d^8*e^4 + 20*a^4*c^5*d^6*e^6 + 15*a^5*c^4*d^4*e^8 + 6*a^6*c^3*d^
2*e^10 + a^7*c^2*e^12)*f^4 + 2*(a^2*c^7*d^12 + 6*a^3*c^6*d^10*e^2 + 15*a^4*c^5*d
^8*e^4 + 20*a^5*c^4*d^6*e^6 + 15*a^6*c^3*d^4*e^8 + 6*a^7*c^2*d^2*e^10 + a^8*c*e^
12)*f^2*g^2 + (a^3*c^6*d^12 + 6*a^4*c^5*d^10*e^2 + 15*a^5*c^4*d^8*e^4 + 20*a^6*c
^3*d^6*e^6 + 15*a^7*c^2*d^4*e^8 + 6*a^8*c*d^2*e^10 + a^9*e^12)*g^4)))/x) - ((c*d
^3*e + a*d*e^3)*f - (c*d^4 + a*d^2*e^2)*g + ((c*d^2*e^2 + a*e^4)*f - (c*d^3*e +
a*d*e^3)*g)*x)*sqrt(-((c^3*d^3 - 3*a*c^2*d*e^2)*f - (3*a*c^2*d^2*e - a^2*c*e^3)*
g + ((a*c^4*d^6 + 3*a^2*c^3*d^4*e^2 + 3*a^3*c^2*d^2*e^4 + a^4*c*e^6)*f^2 + (a^2*
c^3*d^6 + 3*a^3*c^2*d^4*e^2 + 3*a^4*c*d^2*e^4 + a^5*e^6)*g^2)*sqrt(-((9*c^5*d^4*
e^2 - 6*a*c^4*d^2*e^4 + a^2*c^3*e^6)*f^2 + 2*(3*c^5*d^5*e - 10*a*c^4*d^3*e^3 + 3
*a^2*c^3*d*e^5)*f*g + (c^5*d^6 - 6*a*c^4*d^4*e^2 + 9*a^2*c^3*d^2*e^4)*g^2)/((a*c
^8*d^12 + 6*a^2*c^7*d^10*e^2 + 15*a^3*c^6*d^8*e^4 + 20*a^4*c^5*d^6*e^6 + 15*a^5*
c^4*d^4*e^8 + 6*a^6*c^3*d^2*e^10 + a^7*c^2*e^12)*f^4 + 2*(a^2*c^7*d^12 + 6*a^3*c
^6*d^10*e^2 + 15*a^4*c^5*d^8*e^4 + 20*a^5*c^4*d^6*e^6 + 15*a^6*c^3*d^4*e^8 + 6*a
^7*c^2*d^2*e^10 + a^8*c*e^12)*f^2*g^2 + (a^3*c^6*d^12 + 6*a^4*c^5*d^10*e^2 + 15*
a^5*c^4*d^8*e^4 + 20*a^6*c^3*d^6*e^6 + 15*a^7*c^2*d^4*e^8 + 6*a^8*c*d^2*e^10 + a
^9*e^12)*g^4)))/((a*c^4*d^6 + 3*a^2*c^3*d^4*e^2 + 3*a^3*c^2*d^2*e^4 + a^4*c*e^6)
*f^2 + (a^2*c^3*d^6 + 3*a^3*c^2*d^4*e^2 + 3*a^4*c*d^2*e^4 + a^5*e^6)*g^2))*log(-
((3*c^3*d^2*e^2 - a*c^2*e^4)*f^2 + 4*(c^3*d^3*e - a*c^2*d*e^3)*f*g + (c^3*d^4 -
3*a*c^2*d^2*e^2)*g^2 - 2*((3*c^4*d^4*e - 4*a*c^3*d^2*e^3 + a^2*c^2*e^5)*f^2 + (c
^4*d^5 - 10*a*c^3*d^3*e^2 + 5*a^2*c^2*d*e^4)*f*g - 2*(a*c^3*d^4*e - 3*a^2*c^2*d^
2*e^3)*g^2 - (2*(a*c^5*d^7*e + 3*a^2*c^4*d^5*e^3 + 3*a^3*c^3*d^3*e^5 + a^4*c^2*d
*e^7)*f^3 + (a*c^5*d^8 + 2*a^2*c^4*d^6*e^2 - 2*a^4*c^2*d^2*e^6 - a^5*c*e^8)*f^2*
g + 2*(a^2*c^4*d^7*e + 3*a^3*c^3*d^5*e^3 + 3*a^4*c^2*d^3*e^5 + a^5*c*d*e^7)*f*g^
2 + (a^2*c^4*d^8 + 2*a^3*c^3*d^6*e^2 - 2*a^5*c*d^2*e^6 - a^6*e^8)*g^3)*sqrt(-((9
*c^5*d^4*e^2 - 6*a*c^4*d^2*e^4 + a^2*c^3*e^6)*f^2 + 2*(3*c^5*d^5*e - 10*a*c^4*d^
3*e^3 + 3*a^2*c^3*d*e^5)*f*g + (c^5*d^6 - 6*a*c^4*d^4*e^2 + 9*a^2*c^3*d^2*e^4)*g
^2)/((a*c^8*d^12 + 6*a^2*c^7*d^10*e^2 + 15*a^3*c^6*d^8*e^4 + 20*a^4*c^5*d^6*e^6
+ 15*a^5*c^4*d^4*e^8 + 6*a^6*c^3*d^2*e^10 + a^7*c^2*e^12)*f^4 + 2*(a^2*c^7*d^12
+ 6*a^3*c^6*d^10*e^2 + 15*a^4*c^5*d^8*e^4 + 20*a^5*c^4*d^6*e^6 + 15*a^6*c^3*d^4*
e^8 + 6*a^7*c^2*d^2*e^10 + a^8*c*e^12)*f^2*g^2 + (a^3*c^6*d^12 + 6*a^4*c^5*d^10*
e^2 + 15*a^5*c^4*d^8*e^4 + 20*a^6*c^3*d^6*e^6 + 15*a^7*c^2*d^4*e^8 + 6*a^8*c*d^2
*e^10 + a^9*e^12)*g^4)))*sqrt(e*x + d)*sqrt(g*x + f)*sqrt(-((c^3*d^3 - 3*a*c^2*d
*e^2)*f - (3*a*c^2*d^2*e - a^2*c*e^3)*g + ((a*c^4*d^6 + 3*a^2*c^3*d^4*e^2 + 3*a^
3*c^2*d^2*e^4 + a^4*c*e^6)*f^2 + (a^2*c^3*d^6 + 3*a^3*c^2*d^4*e^2 + 3*a^4*c*d^2*
e^4 + a^5*e^6)*g^2)*sqrt(-((9*c^5*d^4*e^2 - 6*a*c^4*d^2*e^4 + a^2*c^3*e^6)*f^2 +
2*(3*c^5*d^5*e - 10*a*c^4*d^3*e^3 + 3*a^2*c^3*d*e^5)*f*g + (c^5*d^6 - 6*a*c^4*d
^4*e^2 + 9*a^2*c^3*d^2*e^4)*g^2)/((a*c^8*d^12 + 6*a^2*c^7*d^10*e^2 + 15*a^3*c^6*
d^8*e^4 + 20*a^4*c^5*d^6*e^6 + 15*a^5*c^4*d^4*e^8 + 6*a^6*c^3*d^2*e^10 + a^7*c^2
*e^12)*f^4 + 2*(a^2*c^7*d^12 + 6*a^3*c^6*d^10*e^2 + 15*a^4*c^5*d^8*e^4 + 20*a^5*
c^4*d^6*e^6 + 15*a^6*c^3*d^4*e^8 + 6*a^7*c^2*d^2*e^10 + a^8*c*e^12)*f^2*g^2 + (a
^3*c^6*d^12 + 6*a^4*c^5*d^10*e^2 + 15*a^5*c^4*d^8*e^4 + 20*a^6*c^3*d^6*e^6 + 15*
a^7*c^2*d^4*e^8 + 6*a^8*c*d^2*e^10 + a^9*e^12)*g^4)))/((a*c^4*d^6 + 3*a^2*c^3*d^
4*e^2 + 3*a^3*c^2*d^2*e^4 + a^4*c*e^6)*f^2 + (a^2*c^3*d^6 + 3*a^3*c^2*d^4*e^2 +
3*a^4*c*d^2*e^4 + a^5*e^6)*g^2)) + 2*((3*c^3*d^2*e^2 - a*c^2*e^4)*f*g + (c^3*d^3
*e - 3*a*c^2*d*e^3)*g^2)*x + (2*(c^5*d^7 + 3*a*c^4*d^5*e^2 + 3*a^2*c^3*d^3*e^4 +
a^3*c^2*d*e^6)*f^3 + 2*(a*c^4*d^7 + 3*a^2*c^3*d^5*e^2 + 3*a^3*c^2*d^3*e^4 + a^4
*c*d*e^6)*f*g^2 + ((c^5*d^6*e + 3*a*c^4*d^4*e^3 + 3*a^2*c^3*d^2*e^5 + a^3*c^2*e^
7)*f^3 + (c^5*d^7 + 3*a*c^4*d^5*e^2 + 3*a^2*c^3*d^3*e^4 + a^3*c^2*d*e^6)*f^2*g +
(a*c^4*d^6*e + 3*a^2*c^3*d^4*e^3 + 3*a^3*c^2*d^2*e^5 + a^4*c*e^7)*f*g^2 + (a*c^
4*d^7 + 3*a^2*c^3*d^5*e^2 + 3*a^3*c^2*d^3*e^4 + a^4*c*d*e^6)*g^3)*x)*sqrt(-((9*c
^5*d^4*e^2 - 6*a*c^4*d^2*e^4 + a^2*c^3*e^6)*f^2 + 2*(3*c^5*d^5*e - 10*a*c^4*d^3*
e^3 + 3*a^2*c^3*d*e^5)*f*g + (c^5*d^6 - 6*a*c^4*d^4*e^2 + 9*a^2*c^3*d^2*e^4)*g^2
)/((a*c^8*d^12 + 6*a^2*c^7*d^10*e^2 + 15*a^3*c^6*d^8*e^4 + 20*a^4*c^5*d^6*e^6 +
15*a^5*c^4*d^4*e^8 + 6*a^6*c^3*d^2*e^10 + a^7*c^2*e^12)*f^4 + 2*(a^2*c^7*d^12 +
6*a^3*c^6*d^10*e^2 + 15*a^4*c^5*d^8*e^4 + 20*a^5*c^4*d^6*e^6 + 15*a^6*c^3*d^4*e^
8 + 6*a^7*c^2*d^2*e^10 + a^8*c*e^12)*f^2*g^2 + (a^3*c^6*d^12 + 6*a^4*c^5*d^10*e^
2 + 15*a^5*c^4*d^8*e^4 + 20*a^6*c^3*d^6*e^6 + 15*a^7*c^2*d^4*e^8 + 6*a^8*c*d^2*e
^10 + a^9*e^12)*g^4)))/x) + ((c*d^3*e + a*d*e^3)*f - (c*d^4 + a*d^2*e^2)*g + ((c
*d^2*e^2 + a*e^4)*f - (c*d^3*e + a*d*e^3)*g)*x)*sqrt(-((c^3*d^3 - 3*a*c^2*d*e^2)
*f - (3*a*c^2*d^2*e - a^2*c*e^3)*g - ((a*c^4*d^6 + 3*a^2*c^3*d^4*e^2 + 3*a^3*c^2
*d^2*e^4 + a^4*c*e^6)*f^2 + (a^2*c^3*d^6 + 3*a^3*c^2*d^4*e^2 + 3*a^4*c*d^2*e^4 +
a^5*e^6)*g^2)*sqrt(-((9*c^5*d^4*e^2 - 6*a*c^4*d^2*e^4 + a^2*c^3*e^6)*f^2 + 2*(3
*c^5*d^5*e - 10*a*c^4*d^3*e^3 + 3*a^2*c^3*d*e^5)*f*g + (c^5*d^6 - 6*a*c^4*d^4*e^
2 + 9*a^2*c^3*d^2*e^4)*g^2)/((a*c^8*d^12 + 6*a^2*c^7*d^10*e^2 + 15*a^3*c^6*d^8*e
^4 + 20*a^4*c^5*d^6*e^6 + 15*a^5*c^4*d^4*e^8 + 6*a^6*c^3*d^2*e^10 + a^7*c^2*e^12
)*f^4 + 2*(a^2*c^7*d^12 + 6*a^3*c^6*d^10*e^2 + 15*a^4*c^5*d^8*e^4 + 20*a^5*c^4*d
^6*e^6 + 15*a^6*c^3*d^4*e^8 + 6*a^7*c^2*d^2*e^10 + a^8*c*e^12)*f^2*g^2 + (a^3*c^
6*d^12 + 6*a^4*c^5*d^10*e^2 + 15*a^5*c^4*d^8*e^4 + 20*a^6*c^3*d^6*e^6 + 15*a^7*c
^2*d^4*e^8 + 6*a^8*c*d^2*e^10 + a^9*e^12)*g^4)))/((a*c^4*d^6 + 3*a^2*c^3*d^4*e^2
+ 3*a^3*c^2*d^2*e^4 + a^4*c*e^6)*f^2 + (a^2*c^3*d^6 + 3*a^3*c^2*d^4*e^2 + 3*a^4
*c*d^2*e^4 + a^5*e^6)*g^2))*log(-((3*c^3*d^2*e^2 - a*c^2*e^4)*f^2 + 4*(c^3*d^3*e
- a*c^2*d*e^3)*f*g + (c^3*d^4 - 3*a*c^2*d^2*e^2)*g^2 + 2*((3*c^4*d^4*e - 4*a*c^
3*d^2*e^3 + a^2*c^2*e^5)*f^2 + (c^4*d^5 - 10*a*c^3*d^3*e^2 + 5*a^2*c^2*d*e^4)*f*
g - 2*(a*c^3*d^4*e - 3*a^2*c^2*d^2*e^3)*g^2 + (2*(a*c^5*d^7*e + 3*a^2*c^4*d^5*e^
3 + 3*a^3*c^3*d^3*e^5 + a^4*c^2*d*e^7)*f^3 + (a*c^5*d^8 + 2*a^2*c^4*d^6*e^2 - 2*
a^4*c^2*d^2*e^6 - a^5*c*e^8)*f^2*g + 2*(a^2*c^4*d^7*e + 3*a^3*c^3*d^5*e^3 + 3*a^
4*c^2*d^3*e^5 + a^5*c*d*e^7)*f*g^2 + (a^2*c^4*d^8 + 2*a^3*c^3*d^6*e^2 - 2*a^5*c*
d^2*e^6 - a^6*e^8)*g^3)*sqrt(-((9*c^5*d^4*e^2 - 6*a*c^4*d^2*e^4 + a^2*c^3*e^6)*f
^2 + 2*(3*c^5*d^5*e - 10*a*c^4*d^3*e^3 + 3*a^2*c^3*d*e^5)*f*g + (c^5*d^6 - 6*a*c
^4*d^4*e^2 + 9*a^2*c^3*d^2*e^4)*g^2)/((a*c^8*d^12 + 6*a^2*c^7*d^10*e^2 + 15*a^3*
c^6*d^8*e^4 + 20*a^4*c^5*d^6*e^6 + 15*a^5*c^4*d^4*e^8 + 6*a^6*c^3*d^2*e^10 + a^7
*c^2*e^12)*f^4 + 2*(a^2*c^7*d^12 + 6*a^3*c^6*d^10*e^2 + 15*a^4*c^5*d^8*e^4 + 20*
a^5*c^4*d^6*e^6 + 15*a^6*c^3*d^4*e^8 + 6*a^7*c^2*d^2*e^10 + a^8*c*e^12)*f^2*g^2
+ (a^3*c^6*d^12 + 6*a^4*c^5*d^10*e^2 + 15*a^5*c^4*d^8*e^4 + 20*a^6*c^3*d^6*e^6 +
15*a^7*c^2*d^4*e^8 + 6*a^8*c*d^2*e^10 + a^9*e^12)*g^4)))*sqrt(e*x + d)*sqrt(g*x
+ f)*sqrt(-((c^3*d^3 - 3*a*c^2*d*e^2)*f - (3*a*c^2*d^2*e - a^2*c*e^3)*g - ((a*c
^4*d^6 + 3*a^2*c^3*d^4*e^2 + 3*a^3*c^2*d^2*e^4 + a^4*c*e^6)*f^2 + (a^2*c^3*d^6 +
3*a^3*c^2*d^4*e^2 + 3*a^4*c*d^2*e^4 + a^5*e^6)*g^2)*sqrt(-((9*c^5*d^4*e^2 - 6*a
*c^4*d^2*e^4 + a^2*c^3*e^6)*f^2 + 2*(3*c^5*d^5*e - 10*a*c^4*d^3*e^3 + 3*a^2*c^3*
d*e^5)*f*g + (c^5*d^6 - 6*a*c^4*d^4*e^2 + 9*a^2*c^3*d^2*e^4)*g^2)/((a*c^8*d^12 +
6*a^2*c^7*d^10*e^2 + 15*a^3*c^6*d^8*e^4 + 20*a^4*c^5*d^6*e^6 + 15*a^5*c^4*d^4*e
^8 + 6*a^6*c^3*d^2*e^10 + a^7*c^2*e^12)*f^4 + 2*(a^2*c^7*d^12 + 6*a^3*c^6*d^10*e
^2 + 15*a^4*c^5*d^8*e^4 + 20*a^5*c^4*d^6*e^6 + 15*a^6*c^3*d^4*e^8 + 6*a^7*c^2*d^
2*e^10 + a^8*c*e^12)*f^2*g^2 + (a^3*c^6*d^12 + 6*a^4*c^5*d^10*e^2 + 15*a^5*c^4*d
^8*e^4 + 20*a^6*c^3*d^6*e^6 + 15*a^7*c^2*d^4*e^8 + 6*a^8*c*d^2*e^10 + a^9*e^12)*
g^4)))/((a*c^4*d^6 + 3*a^2*c^3*d^4*e^2 + 3*a^3*c^2*d^2*e^4 + a^4*c*e^6)*f^2 + (a
^2*c^3*d^6 + 3*a^3*c^2*d^4*e^2 + 3*a^4*c*d^2*e^4 + a^5*e^6)*g^2)) + 2*((3*c^3*d^
2*e^2 - a*c^2*e^4)*f*g + (c^3*d^3*e - 3*a*c^2*d*e^3)*g^2)*x - (2*(c^5*d^7 + 3*a*
c^4*d^5*e^2 + 3*a^2*c^3*d^3*e^4 + a^3*c^2*d*e^6)*f^3 + 2*(a*c^4*d^7 + 3*a^2*c^3*
d^5*e^2 + 3*a^3*c^2*d^3*e^4 + a^4*c*d*e^6)*f*g^2 + ((c^5*d^6*e + 3*a*c^4*d^4*e^3
+ 3*a^2*c^3*d^2*e^5 + a^3*c^2*e^7)*f^3 + (c^5*d^7 + 3*a*c^4*d^5*e^2 + 3*a^2*c^3
*d^3*e^4 + a^3*c^2*d*e^6)*f^2*g + (a*c^4*d^6*e + 3*a^2*c^3*d^4*e^3 + 3*a^3*c^2*d
^2*e^5 + a^4*c*e^7)*f*g^2 + (a*c^4*d^7 + 3*a^2*c^3*d^5*e^2 + 3*a^3*c^2*d^3*e^4 +
a^4*c*d*e^6)*g^3)*x)*sqrt(-((9*c^5*d^4*e^2 - 6*a*c^4*d^2*e^4 + a^2*c^3*e^6)*f^2
+ 2*(3*c^5*d^5*e - 10*a*c^4*d^3*e^3 + 3*a^2*c^3*d*e^5)*f*g + (c^5*d^6 - 6*a*c^4
*d^4*e^2 + 9*a^2*c^3*d^2*e^4)*g^2)/((a*c^8*d^12 + 6*a^2*c^7*d^10*e^2 + 15*a^3*c^
6*d^8*e^4 + 20*a^4*c^5*d^6*e^6 + 15*a^5*c^4*d^4*e^8 + 6*a^6*c^3*d^2*e^10 + a^7*c
^2*e^12)*f^4 + 2*(a^2*c^7*d^12 + 6*a^3*c^6*d^10*e^2 + 15*a^4*c^5*d^8*e^4 + 20*a^
5*c^4*d^6*e^6 + 15*a^6*c^3*d^4*e^8 + 6*a^7*c^2*d^2*e^10 + a^8*c*e^12)*f^2*g^2 +
(a^3*c^6*d^12 + 6*a^4*c^5*d^10*e^2 + 15*a^5*c^4*d^8*e^4 + 20*a^6*c^3*d^6*e^6 + 1
5*a^7*c^2*d^4*e^8 + 6*a^8*c*d^2*e^10 + a^9*e^12)*g^4)))/x) - ((c*d^3*e + a*d*e^3
)*f - (c*d^4 + a*d^2*e^2)*g + ((c*d^2*e^2 + a*e^4)*f - (c*d^3*e + a*d*e^3)*g)*x)
*sqrt(-((c^3*d^3 - 3*a*c^2*d*e^2)*f - (3*a*c^2*d^2*e - a^2*c*e^3)*g - ((a*c^4*d^
6 + 3*a^2*c^3*d^4*e^2 + 3*a^3*c^2*d^2*e^4 + a^4*c*e^6)*f^2 + (a^2*c^3*d^6 + 3*a^
3*c^2*d^4*e^2 + 3*a^4*c*d^2*e^4 + a^5*e^6)*g^2)*sqrt(-((9*c^5*d^4*e^2 - 6*a*c^4*
d^2*e^4 + a^2*c^3*e^6)*f^2 + 2*(3*c^5*d^5*e - 10*a*c^4*d^3*e^3 + 3*a^2*c^3*d*e^5
)*f*g + (c^5*d^6 - 6*a*c^4*d^4*e^2 + 9*a^2*c^3*d^2*e^4)*g^2)/((a*c^8*d^12 + 6*a^
2*c^7*d^10*e^2 + 15*a^3*c^6*d^8*e^4 + 20*a^4*c^5*d^6*e^6 + 15*a^5*c^4*d^4*e^8 +
6*a^6*c^3*d^2*e^10 + a^7*c^2*e^12)*f^4 + 2*(a^2*c^7*d^12 + 6*a^3*c^6*d^10*e^2 +
15*a^4*c^5*d^8*e^4 + 20*a^5*c^4*d^6*e^6 + 15*a^6*c^3*d^4*e^8 + 6*a^7*c^2*d^2*e^1
0 + a^8*c*e^12)*f^2*g^2 + (a^3*c^6*d^12 + 6*a^4*c^5*d^10*e^2 + 15*a^5*c^4*d^8*e^
4 + 20*a^6*c^3*d^6*e^6 + 15*a^7*c^2*d^4*e^8 + 6*a^8*c*d^2*e^10 + a^9*e^12)*g^4))
)/((a*c^4*d^6 + 3*a^2*c^3*d^4*e^2 + 3*a^3*c^2*d^2*e^4 + a^4*c*e^6)*f^2 + (a^2*c^
3*d^6 + 3*a^3*c^2*d^4*e^2 + 3*a^4*c*d^2*e^4 + a^5*e^6)*g^2))*log(-((3*c^3*d^2*e^
2 - a*c^2*e^4)*f^2 + 4*(c^3*d^3*e - a*c^2*d*e^3)*f*g + (c^3*d^4 - 3*a*c^2*d^2*e^
2)*g^2 - 2*((3*c^4*d^4*e - 4*a*c^3*d^2*e^3 + a^2*c^2*e^5)*f^2 + (c^4*d^5 - 10*a*
c^3*d^3*e^2 + 5*a^2*c^2*d*e^4)*f*g - 2*(a*c^3*d^4*e - 3*a^2*c^2*d^2*e^3)*g^2 + (
2*(a*c^5*d^7*e + 3*a^2*c^4*d^5*e^3 + 3*a^3*c^3*d^3*e^5 + a^4*c^2*d*e^7)*f^3 + (a
*c^5*d^8 + 2*a^2*c^4*d^6*e^2 - 2*a^4*c^2*d^2*e^6 - a^5*c*e^8)*f^2*g + 2*(a^2*c^4
*d^7*e + 3*a^3*c^3*d^5*e^3 + 3*a^4*c^2*d^3*e^5 + a^5*c*d*e^7)*f*g^2 + (a^2*c^4*d
^8 + 2*a^3*c^3*d^6*e^2 - 2*a^5*c*d^2*e^6 - a^6*e^8)*g^3)*sqrt(-((9*c^5*d^4*e^2 -
6*a*c^4*d^2*e^4 + a^2*c^3*e^6)*f^2 + 2*(3*c^5*d^5*e - 10*a*c^4*d^3*e^3 + 3*a^2*
c^3*d*e^5)*f*g + (c^5*d^6 - 6*a*c^4*d^4*e^2 + 9*a^2*c^3*d^2*e^4)*g^2)/((a*c^8*d^
12 + 6*a^2*c^7*d^10*e^2 + 15*a^3*c^6*d^8*e^4 + 20*a^4*c^5*d^6*e^6 + 15*a^5*c^4*d
^4*e^8 + 6*a^6*c^3*d^2*e^10 + a^7*c^2*e^12)*f^4 + 2*(a^2*c^7*d^12 + 6*a^3*c^6*d^
10*e^2 + 15*a^4*c^5*d^8*e^4 + 20*a^5*c^4*d^6*e^6 + 15*a^6*c^3*d^4*e^8 + 6*a^7*c^
2*d^2*e^10 + a^8*c*e^12)*f^2*g^2 + (a^3*c^6*d^12 + 6*a^4*c^5*d^10*e^2 + 15*a^5*c
^4*d^8*e^4 + 20*a^6*c^3*d^6*e^6 + 15*a^7*c^2*d^4*e^8 + 6*a^8*c*d^2*e^10 + a^9*e^
12)*g^4)))*sqrt(e*x + d)*sqrt(g*x + f)*sqrt(-((c^3*d^3 - 3*a*c^2*d*e^2)*f - (3*a
*c^2*d^2*e - a^2*c*e^3)*g - ((a*c^4*d^6 + 3*a^2*c^3*d^4*e^2 + 3*a^3*c^2*d^2*e^4
+ a^4*c*e^6)*f^2 + (a^2*c^3*d^6 + 3*a^3*c^2*d^4*e^2 + 3*a^4*c*d^2*e^4 + a^5*e^6)
*g^2)*sqrt(-((9*c^5*d^4*e^2 - 6*a*c^4*d^2*e^4 + a^2*c^3*e^6)*f^2 + 2*(3*c^5*d^5*
e - 10*a*c^4*d^3*e^3 + 3*a^2*c^3*d*e^5)*f*g + (c^5*d^6 - 6*a*c^4*d^4*e^2 + 9*a^2
*c^3*d^2*e^4)*g^2)/((a*c^8*d^12 + 6*a^2*c^7*d^10*e^2 + 15*a^3*c^6*d^8*e^4 + 20*a
^4*c^5*d^6*e^6 + 15*a^5*c^4*d^4*e^8 + 6*a^6*c^3*d^2*e^10 + a^7*c^2*e^12)*f^4 + 2
*(a^2*c^7*d^12 + 6*a^3*c^6*d^10*e^2 + 15*a^4*c^5*d^8*e^4 + 20*a^5*c^4*d^6*e^6 +
15*a^6*c^3*d^4*e^8 + 6*a^7*c^2*d^2*e^10 + a^8*c*e^12)*f^2*g^2 + (a^3*c^6*d^12 +
6*a^4*c^5*d^10*e^2 + 15*a^5*c^4*d^8*e^4 + 20*a^6*c^3*d^6*e^6 + 15*a^7*c^2*d^4*e^
8 + 6*a^8*c*d^2*e^10 + a^9*e^12)*g^4)))/((a*c^4*d^6 + 3*a^2*c^3*d^4*e^2 + 3*a^3*
c^2*d^2*e^4 + a^4*c*e^6)*f^2 + (a^2*c^3*d^6 + 3*a^3*c^2*d^4*e^2 + 3*a^4*c*d^2*e^
4 + a^5*e^6)*g^2)) + 2*((3*c^3*d^2*e^2 - a*c^2*e^4)*f*g + (c^3*d^3*e - 3*a*c^2*d
*e^3)*g^2)*x - (2*(c^5*d^7 + 3*a*c^4*d^5*e^2 + 3*a^2*c^3*d^3*e^4 + a^3*c^2*d*e^6
)*f^3 + 2*(a*c^4*d^7 + 3*a^2*c^3*d^5*e^2 + 3*a^3*c^2*d^3*e^4 + a^4*c*d*e^6)*f*g^
2 + ((c^5*d^6*e + 3*a*c^4*d^4*e^3 + 3*a^2*c^3*d^2*e^5 + a^3*c^2*e^7)*f^3 + (c^5*
d^7 + 3*a*c^4*d^5*e^2 + 3*a^2*c^3*d^3*e^4 + a^3*c^2*d*e^6)*f^2*g + (a*c^4*d^6*e
+ 3*a^2*c^3*d^4*e^3 + 3*a^3*c^2*d^2*e^5 + a^4*c*e^7)*f*g^2 + (a*c^4*d^7 + 3*a^2*
c^3*d^5*e^2 + 3*a^3*c^2*d^3*e^4 + a^4*c*d*e^6)*g^3)*x)*sqrt(-((9*c^5*d^4*e^2 - 6
*a*c^4*d^2*e^4 + a^2*c^3*e^6)*f^2 + 2*(3*c^5*d^5*e - 10*a*c^4*d^3*e^3 + 3*a^2*c^
3*d*e^5)*f*g + (c^5*d^6 - 6*a*c^4*d^4*e^2 + 9*a^2*c^3*d^2*e^4)*g^2)/((a*c^8*d^12
+ 6*a^2*c^7*d^10*e^2 + 15*a^3*c^6*d^8*e^4 + 20*a^4*c^5*d^6*e^6 + 15*a^5*c^4*d^4
*e^8 + 6*a^6*c^3*d^2*e^10 + a^7*c^2*e^12)*f^4 + 2*(a^2*c^7*d^12 + 6*a^3*c^6*d^10
*e^2 + 15*a^4*c^5*d^8*e^4 + 20*a^5*c^4*d^6*e^6 + 15*a^6*c^3*d^4*e^8 + 6*a^7*c^2*
d^2*e^10 + a^8*c*e^12)*f^2*g^2 + (a^3*c^6*d^12 + 6*a^4*c^5*d^10*e^2 + 15*a^5*c^4
*d^8*e^4 + 20*a^6*c^3*d^6*e^6 + 15*a^7*c^2*d^4*e^8 + 6*a^8*c*d^2*e^10 + a^9*e^12
)*g^4)))/x))/((c*d^3*e + a*d*e^3)*f - (c*d^4 + a*d^2*e^2)*g + ((c*d^2*e^2 + a*e^
4)*f - (c*d^3*e + a*d*e^3)*g)*x)

_______________________________________________________________________________________

Sympy [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \[ \int \frac{1}{\left (a + c x^{2}\right ) \left (d + e x\right )^{\frac{3}{2}} \sqrt{f + g x}}\, dx \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate(1/(e*x+d)**(3/2)/(c*x**2+a)/(g*x+f)**(1/2),x)

[Out]

Integral(1/((a + c*x**2)*(d + e*x)**(3/2)*sqrt(f + g*x)), x)

_______________________________________________________________________________________

GIAC/XCAS [F(-1)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \[ \text{Timed out} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate(1/((c*x^2 + a)*(e*x + d)^(3/2)*sqrt(g*x + f)),x, algorithm="giac")

[Out]

Timed out